Бесконечность в математике

Автор: Лотц Галина

Объект исследования: бесконечность и  математика

Предмет исследования: понятие бесконечности в математике

Цель исследования: изучить представление термина бесконечности в математике

Задачи исследования:

  1. Изучить определение и свойства бесконечности;
  2. Ответить на вопрос: является ли бесконечность объективно существующей реальностью или это просто математическая абстракция
  3. Определить, какую роль играет бесконечность в математике и в жизни;
  4. Сформулировать выводы

Гипотеза исследования:  «Математическое бесконечное заимствовано из действительности, хотя и бессознательным образом, и поэтому оно может быть объяснено только из действительности, а не из самого себя, не из математической абстракции» (Энгельс Ф.)

Этапы исследования:

Подготовительный: изучение литературы, сбор информации;

Практический: исследование и изучение определения и свойств бесконечности, выяснение того, какую роль играет бесконечность в математике и в жизни

Аналитический: анализ полученных результатов, выводы.

C понятием бесконечности нас знакомят еще в начальной школе. Тогда мы с удивлением узнаем, что наибольшего числа не существует. Сколько ни прибавляй к бесконечному, оно остается все тем же бесконечным. А при изучении дробей в средней школе, с удивлением замечали, что бесконечное в математике часто приводит к противоречию и парадоксу, например, аксиома «целое больше своей части». Бесконечное множество, в частности, определяется как то, что равно не совпадающей с ним части. А «ноль в степени бесконечность» или «единица, деленная на бесконечность»?

Например, в школьной программе есть тема «Сумма бесконечной геометрической прогрессии». Рассмотрим следующий бесконечный ряд чисел: 1, а, a2, a3и так далее, где а-положительно и меньше единицы — это и есть геометрическая прогрессия. Числа в этом ряду становятся всё меньше и меньше. Оказывается, что если сложить весь этот бесконечный набор чисел, то получится простой ответ:

Возникает вопрос: почему бесконечная сумма дает красивый конечный ответ? зачем может понадобиться сложение бесконечно многих чисел?

Так что же такое бесконечность? Можно ли «пощупать» бесконечность, смоделировать? Эти вопросы всегда интересовали, может быть потому, что в повседневной жизни нам всегда приходиться иметь дело только с конечными величинами, а бесконечность манит своей необычностью и даже таинственностью.

 Бесконечность, одно из самых удивительных и парадоксальных научных понятий, неизменно привлекала внимание человека, волнующих мыслителей и ученых. Определение бесконечности в словарях встречаются разные, приведем некоторые из них:

1.Отсутствие конца, предела наличию каких–либо однородных объектов в пространстве или момента осуществления каких-либо процессов.

2.Пространство, не имеющее видимых границ , пределов.

3.Условная величина, которая больше любого наперёд заданного значения (Обозначается знаком  ∞).

По существу, история бесконечного пронизывают всю историю познания человеком окружающего мира и своего места в нем. Пифагор писал «В конечности – красота и совершенство. В безграничности – незавершенность и несовершенство».

Аристотель считал, что бесконечность – это процесс, состоящий из последовательных шагов, где за каждым очередным шагом имеется следующий, и нет последнего. Он утверждал, что математика должна заниматься только чисто теоретическими операциями над бесконечностью. Израильский математик, профессор Дорон Зельбергер убежден, что числа не могут увеличиваться бесконечно, и существует такое огромное число, что если вы прибавите к нему единицу, вы получите ноль. Тем не менее, это число и его значение лежат далеко за пределами человеческого понимания, и вероятно, это число никогда не будет найдено и доказано. Это убеждение является главным принципом математической философии, известной как «Ультрабесконечность».

Первым среди древнегреческих ученых, кто применил теоретические знания, в частности понятие бесконечности для решения практических задач, был Архимед. Он использовал бесконечный числовой ряд, чтобы найти площадь сегмента параболы. Как действовал Архимед? Разбив параболу на вписанные треугольники, складывая их площади, заметил, что ни за какое конечное число шагов всю площадь под параболой исчерпать не получится, то есть мы не доберёмся до точного ответа. Лишь при переходе к бесконечному, т. е. формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии, получаем красивый конечный результат.

Оказывается, что это общая закономерность: если в математической или физической задаче устремить в бесконечность какую-либо величину из условий задачи, то, как правило, ответ упрощается или даже нерешаемая задача становится решаемой. Есть даже шутка про физика-теоретика, которого попросили рассчитать, будет ли стул стоять устойчиво. За первые пять минут он решил эту задачу для стула с одной ножкой, за следующие пять минут — для стула с бесконечным числом ножек, а потом всю оставшуюся жизнь пытался рассчитать устойчивость стула с четырьмя ножками. Красивая конечность становится следствием бесконечности.

Но какой бы красивый ответ не был получен, сама  бесконечность никогда не сможет быть выражена или определена не через какие числа, какими бы огромными они не были. Это понятие существует «вне чисел». К нему можно лишь бесконечно стремиться. Но что означает «стремящийся к бесконечности»? Математики придумали для этого предел. В пределе получаем какой-то конечный результат одной величины тогда, когда другой уходит в бесконечность.

Математика создает модели для изучения бесконечного, получая конечные результаты. Бесконечные процессы на конечном шаге становятся уловимыми. Сама же бесконечность ускользает от нас, как только мы приближаемся к ней. То, что становится конечным на данном этапе, дает рождение нового бесконечного процесса.

Еще одно интересное соседство неизменно преследует бесконечность. Понятие «ноль» и «бесконечность» тесно связаны. Известно, число, деленное на бесконечность, стремится к нулю, число, деленное на нуль, стремится к бесконечности.

Таким образом, бесконечность и ноль — две противоположности, которые составляют единое целое. Это полностью соответствует диалектическому закону единства и борьбы противоположностей.

Кажущаяся безрассудной идея о том, что ноль и бесконечность совпадают, оказывается, находит много подтверждений. Например, физический вакуум – это то, что остается в пространстве, когда из него удаляют весь воздух и все до последней элементарной частицы. Казалось бы, остается пустота, ноль, но оказывается, что эта пустота – своеобразная материя – Прародитель всего во Вселенной. Таким образом, с точки зрения современной физики вакуум вовсе не пустота.

Остается актуальным основной вопрос философии – вопрос о том, познаваем ли мир? Ведь известно, что наука изучает мир, основываясь на моделях (различные математические, физические модели). Но реальный мир гораздо сложнее! На этот счет мнения философов расходятся. Многие убеждены, что в нашем мире действует принцип подобия, вытекающий из одного из основных законов диалектики – закона преемственности и подобия. Согласно этому принципу часть любого целого устроена подобно тому, как устроено целое.

Яркой иллюстрацией принципа подобия является голограмма. Отличительная особенность голограммы заключается в том, что по любой (даже малой) части можно восстановить изображение целиком, потому что каждый фрагмент голограммы содержит в себе информацию обо всем изображении.

Так и весь мир устроен по этому принципу: в любой точке Вселенной есть информация обо всей Вселенной. Свойство самоподобности отражает главную особенность природных объектов, когда подобно голограмме, отдельная клетка растения или животного несёт в себе полную информацию обо всём организме.

В математических моделях свойство самоподобности находит свое выражение во фрактальных фигурах. Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому». Пример «съедобного фрактала» — это некий сорт цветной капусты.  Если рассмотрим его поближе, то увидим, что он состоит из «шишечек», идущих по спирали, причём каждая из них состоит из таких же маленьких «шишечек», а они, в свою очередь, — из совсем маленьких (капуста Романеско).

Реальный мир достаточно хорошо описывается фрактальной геометрией. Фрактал — может выступать моделью сложных природных систем, таких, как кроны деревьев, кораллы, снежинки и т.д. Фрактальные фрагменты позволяют наглядно прочувствовать переходы от бесконечно больших величин к бесконечно малым и наоборот ( от «минус» к « плюс» бесконечности). Раскладывая тело, состоящее из бесконечно большого числа фрактальных сегментов, мы приходим к конечному маленькому сегментику — исходной фигуре, и наоборот, от начального фрагмента можем «заглянуть» в бесконечность, получая все новые и новые формы.

Вывод. Бесконечность — это не абстрактное понятие, а объективно существующая реальность. Бесконечность иногда становится конечной (находит воплощение в конечном). Ноль и бесконечность совпадают. Пустота – своеобразная материя – Прародитель всего во Вселенной. Математика и физика создают различные модели для изучения бесконечности, получая конечные результаты, но реальный мир гораздо сложнее. «Пощупать» бесконечность можно, прибегая к «образу и подобию», т.е. моделируя ее.

Литература

1.Н. Я. Виленкин  В поисках бесконечности. — М.: Наука, 1983. — 160 с

2.Литцман В. Великаны и карлики в мире чисел. М,1959.

3.Тео Овербек .Сила из «ничего»,1960.

4.Азевич А.И. Фракталы: геометрия и искусство./Математика в школе, №5/2005.

Интернет ресурсы.

— http://ru.wikipedia.org/wikiСимметрия

— http://slovari.yandex.ru