Взаимосвязь математики с музыкой

 

Автор: Нежинская Любовь

ВЗАИМОСВЯЗЬ МУЗЫКИ И МАТЕМАТИКИ

Математика и музыка ! Что может быть общего у точной и логичной математики и спонтанной, образной музыки? На первый взгляд , практически ничего! Но, если разобраться, в любой мелодии точность построения аккордов и логика последовательности нот, а в математике образность при решении задач и спонтанность нахождения новых вариантов решения. Раньше я никогда не задумывалась о том насколько сильно их взаимосвязь. Преподавая, в школе, математику и музыку я задумалась об этом и хочу в этом разобраться.

Проблемы, решению которых способствует проект:

Работа над проектом развивает любознательность, познавательную активность сразу по двум предметам. Что способствует расширению кругозора через самостоятельный поиск нужной информации, а это способствует самообразованию.

Цель работы:

Проанализировать связь между математикой и музыкой.

Методы исследования:

1.Изучение, обработка и анализ документов.

2.Метод исследования музыкального произведения.

3.Метод проблемно-поисковой ситуации.

 

Глава 1. Пифагорейская теория музыки.

1.1 Пифагорова гамма.

Гаммой, или звукорядом называется последовательность звуков (ступеней) некоторой музыкальной системы (лада), расположенных начиная от основного звука (основного тона), в восходящем или нисходящем порядке. Важнейшей характеристикой музыкально звука является его высота. Высота звука – это качество звука, определяемое человеком субъективно на слух и зависящее в основном от частоты колебаний, т. е. от числа колебаний в секунду. Чем больше частота колебаний, тем выше представляется нам звук. Сочетание двух звуков в иных случаях получается благоприятным и благозвучным, а в других, наоборот, «режет» ухо. Согласованное сочетание двух звуков называется консонансом, а несогласованное – диссонансом. Интервалом между двумя тонами называется порядковый номер ступени верхнего тона относительно нижнего в данном звукоряде, а интервальным коэффициентом I21 двух тонов – отношение частоты колебаний верхнего тона к частоте нижнего тона. I21=-f2/f1 (f2 > f1) Проведём исследование: возьмём на гитаре последовательно несколько ладов. Получится бессвязный набор звуков. Если брать лады через звук, то звуки ладятся между собой, но их совокупность оборвана. Эту последовательность хочется продолжить до определенной ноты, которая в данной системе звуков кажется устойчивой, основной и называется тоникой. Значит звуки, в музыкальной системе, связаны между собой определенными зависимостями, одни из них являются неустойчивыми, а другие – устойчивым. Если сыграть гамму до мажор и гамму ля минор, то можно услышать, что эти гаммы звучат по – разному. Первая – мажор – звучит бодро, а вторая – минор – грустно. Характер звучания определяется наклонением. Оно бывает: мажорное или минорное. Приятная для слуха взаимосвязь музыкальных звуков, определяемая зависимостью неустойчивых звуков от устойчивых, называется ладом. Наиболее распространенные современные лады состоят из семи основных ступеней, каждая из которых может повышаться или понижаться, что дает еще пять дополнительных звуков. Таким образом, диатоническая (семиступенная) гамма лада превращается в хроматическую (12 — звуковую). Изучение лада – это целая наука, изучению которой многие композиторы посвятили жизнь, такие, как , , Оливье Мессиан и другие. Наш эксперимент с гитарой может закончится тем, что данная система звуков будет не только принадлежать к какому-либо ладу, но и будет носить осмысленный последовательный ряд звуков разной высоты, что называется мелодией.

1.2 Первые попытки математического осмысления музыки.

Одним из первых музыкальных инструментов, на котором античные созерцатели постигали премудрости музыкальной грамоты, был монохорд. Монохорд  – это древнегреческий однострунный музыкальный инструмент. Это был длинный ящик, необходимый для усиления звука, над которым натягивалась струна. Снизу струна поджималась передвижной подставкой для деления струны на две относительно звучащие части. На деревянном ящике под струной имелась шкала делений, позволяющая точно установить, какая часть струны звучит. Как музыкальный инструмент монохорд кажется слишком примитивным, однако он был прекрасным физическим прибором и учебным пособием. Изучая колебания струны монохорда, древние греки сформулировали законы:

  1. Высота тона (частота колебаний f) звучащей струны обратно пропорционально ее длине l: f=a/l, здесь а – коэффициент пропорциональности, зависящий от физических свойств струны (толщины, материала т. п.)
  2. Две звучащие струны дают консонанс лишь тогда, когда их длины относятся как целые числа: 1:2, 2:3, 3:4, составляющее треугольное число= 1+2+3+4). Треугольное число – это число кружков, которые могут быть расставлены в форме равностороннего треугольника. Эти интервалы — «совершенные консонансы», и их интервальные коэффициенты позже получили латинские названия: октава l2/l1=1/2, квинта l2/l1=2/3, кварта l2/l1=3/4.
  3. Наиболее полное слияние тонов, дает октава (2/1), затем идут квинта (3/2) и кварта (4/3). Т. е. чем меньше число n в отношении вида (n+1)/n, ( n = 1.2.3), тем созвучнее интервал.
  4. Так же были установлены пропорциональные отношения между основным совершенным консонансом – октавой, квинтой и квартой, т. е квинта есть среднее гармоническое длин струн основного тона l1 и октавы l2. Среднее гармоническое двух чисел – это число, обратное которому среднее арифметическое. Кварта — это среднее арифметическое l1 и l2. Среднее арифметическое двух чисел – это число, получаемое делением суммы нескольких чисел на их количество.
  5. Произведение среднего арифметического на среднее гармоническое равно произведению исходных чисел.
  6. Октава есть произведение квинты на кварту. Была получена и третья из основных пропорций – геометрическая, которую называли «музыкальной»: октава так относится к квинте, как кварта к основному тону.
  7. Октава делится на два неравных консонансных интервала – квинту и кварту. Интервал, дополняющий данный интервал до октавы, называется его обращением. Таким образом, квинта есть обращение кварты и наоборот.
  8. Тон равен отношению консонанса квинты к консонансу кварты.
  9. Квинта равна отношению консонанса кварты к диссонансу тона.
  10. Сумма двух интервалов равна произведению их интервальных коэффициентов.

 

1.3.Математический строй музыки.

В качестве основной льдообразующей ступеньки выбрали тон, античным теоретикам осталось только отложить от основного звука (f1=1) тон (f2=9/8), затем – еще один тон (f3=9/8*9/8=81/64), а оставшийся интервал между вторым тоном и тоном кварты (f4=4/3) назвать полутоном I43=4/3 : 81/64 = 256/243. Название это вполне оправдано, так как деление тона – интервала пополам дает \/9/8 »1,0607, а 256/243»1,0545,т. е. полутон практически равен половине тона. Полутон – это наименьшее расстояние между звуками по высоте. (Интервал тона (полутона) в теории музыки принят в качестве единицы арифметического измерения интервалов, а сами интервалы тона и полутона в отличие от их интервальных коэффициентов называют большой и малой секундами). Так была получена основа всей древнегреческой музыки – тетрахорд – четырех струнный звукоряд в пределах кварты. Имеется только три возможности для положения полутона в пределах тетрахорда, что и определяло характер и название тетрахорда: дорийский: полутон – тон, фригийский: тон – полутон – тон, лидийский: тон – тон – полутон.

Названия тетрахордов указывают на соответствующие области Греции и Малой Азии, каждая из которых пела в своем ладу. Конечно, четырех струн в пределах кварты было мало для ведения мелодии, поэтому тетрахорды соединялись. Так как октава состоит из двух кварт и тона; следовательно, в пределах октавы можно расположить два тетрахорда, разделенных интервалом в тон. Объединяя с помощью разделительного тона два одноименных тетрахорда, получили октаву, которую греки назвали «гармония». Именно в античной теории музыки слово «гармония» обрело свое современное значение – согласие разногласного. Таких основных видов гармонии по числу тетрахордов получилось три: дорийская: 1/2 – 1 – 1 – 1 – 1/2 — 1 – 1; фригийская: 1 – 1/2 — 1 – 1 – 1 – 1/2 – 1; лидийская: /– 1 — 1/2. Здесь 1 обозначает тон, 1/2 — полутон. Эти античные гармонии сопоставимы с современными гаммами. В самом деле, каждый, знакомый с азами музыкальной грамоты, узнает в лидийской гармонии обычный натуральный мажор (2 тона – полутон, 3 тона – полутон, или на белых клавишах фортепиано до – ре – ми – фа – соль – ля – си – до). А в дорийской и фригийской – почти натуральный минор (т. к в сравнении с натуральным минором (1 – ½ — 1 – 1 – ½ — 1 – 1) у дорийской гаммы понижена вторая ступень, а у фригийской – повышена шестая).

Легко получить математическое выражение гаммы, зная размеры интервалов, образующих лидийскую гармонию и правила действия с ними. Приняв частоту нижнего тона за единицу f1=1, находим первый тетрахорд:

f1=1, f2=9/8, f3=9/8*9/8 = 81/64, f4=4/3. Второй тетрахорд получается сдвигом первого на квинту: f5=3/2f1=3/2, f63/2f2=27/16, f7=3/2f3=243/128, f8=3/2f4=2. Окончательно для интервальных коэффициентов имеем

1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2

до ре ми фа соль ля си до

Это и есть канон Пифагора. Существовал и другой способ расположения тетрахордов в октаве. Античные теоретики «склеивали» тетрахорды так, что верхний звук одного тетрахорда являлся нижним звуком второго. Тогда дополняющий до октавы тон помещали внизу или наверху такой системы. Если этот тон помещался внизу, то к названию тетрахорда прибавляли приставку гипо — (под -), а если наверху — приставку гипер — (над-). Так получалось еще 6 гармоний, среди которых две пары (гипофригийская – гиперлидийская и гиподорийская – гиперфридийская) оказывались совершенно одинаковыми. Отбросив две лишние гаммы, оставалось семь основных ладов. Эти лады имели огромное значение не только в античной музыке, но в современных натуральных ладах.

Глава 2. Современное осмысление геометрической теории музыки.

Связь между музыкой и математикой известная с глубокой древности. Знаменитая концепция Musica Universalis, появившаяся в Средние века, связывала с музыкой геометрически точное движение небесных тел – пускай, звуков ее нам не слышно, но гармонии у них схожие. Предложен совершенно новый подход к пониманию музыкальной гармонии, позволяющий описать ее в строгих терминах геометрии. В этом направлении работают и современные американские ученые Клифтон Каллендер (Clifton Callender), Ян Куинн (Ian Quinn) и Дмитрий Тимошко (Dmitri Tymoczko), предложившие новый взгляд на математический анализ музыки. В своей недавно вышедшей это трио музыкантов и математиков сумело сформулировать подход, названный ими «геометрической теорией музыки» и позволяющий перевести абстрактный язык музыкальной гармонии в более конкретные геометрические образы.
Каждую ноту авторы представили в математическом выражении, как логарифм частоты ее звука. Логарифм – это показатель степени, в которую следует возвести число, называемое основанием, чтобы получить данное число. На этой основе они описали аккорды, сгруппировав их в «семейства», в зависимости от числа входящих в них нот. Каждое из «семейств» они организовали в соответствии с определенной математической структурой и расположили в комплексном геометрическом пространстве наподобие осей координат в классической Декартовой системе – только в этом случае речь идет о неевклидовых пространствах. Декартова система – это прямолинейная система координат на плоскости или в пространстве. Неевклидовое пространство – это пространство, свойства которого базируются на системе аксиом, отличных евклидовой. Разные группы аккордов «порождали» разные пространства. Этот метод, по мнению авторов, позволяет глубже проанализировать и сравнить разные направления музыки. По крайней мере, западной музыки, поскольку сама концепция аккорда далеко не универсальна для разных народов и стран.
«“Музыка сфер” – не совсем метафора, — поясняет принстонский профессор Дмитрий Тимошко, — С нашим геометрическим подходом станет возможно создать новые музыкальные инструменты, а возможно, и стили. Но для меня главный результат состоит в том, что можно наглядно увидеть взаимосвязи между самыми разными музыкальными концепциями. Немного преувеличивая, скажем, что вся история музыки предстает, как раскрытие разных симметрий и разных геометрических пространств».
Как пишут ученые в своей статье, суть формального понимания музыки состоит в отбрасывании излишней информации и абстрагировании. Абстрагирование — это мысленное выделение, вычленение некоторых элементов конкретного множества и отвлечение их от прочих элементов данного множества. К примеру, если взять на гитаре аккорд до-ми-соль, его можно назвать «до мажор», независимо от того, в какой конкретно последовательности играть эти ноты, или в какой октаве, или сколько раз каждая нота сыграна. С точки зрения «геометрической теории музыки», эти варианты исполнения «до мажора» сходны, но не идентичны: они симметричны. Авторы описали 5 видов симметрии, применяя которые можно «переходить» от одного варианта к другому – в рамках неевклидовых пространств их геометрической модели они работают так же, как обычные оптические симметрии в нашем привычном пространстве. Атональность здесь предстает, как нарушение строгих симметричных отношений. Атональнсть-это термин, который применяется в музыке, в которой отсутствует определённый тональный центр и связанные с ним соотношения созвучий. Основной принцип атональности — полное равноправие всех тонов.
Набор этих симметрий авторы назвали OPTIC, по первым буквам: O – сдвиг на октаву (octave shifts), Р – перестановка (permutation), смена порядка нот в аккорде, Т – перенос (transposition), сдвиг всех нот аккорда на равный тон, I – инверсия (inversion), обращение аккорда, и С – смена кардинальности (cardinality changes), изменения числа вхождения ноты в аккорд.
Применение к аккордам разных типов симметрии и их комбинаций создает все множество разных музыкальных концепций – не только известных человечеству. Геометрическая интерпретация «семейства» аккордов из четырех нот: чем ближе составляющие их ноты друг к другу по тону, тем более «холодным» цветом они окрашены.
Красная сфера вверху соответствует уменьшенному септаккорду, весьма популярному у классических композиторов XIX века. Музыкальный септаккорд – это аккорд их четырёх звуков, которые расположены или могут быть расположены по терциям. ( Один из простых интервалов, вершина которого является третьей ступенью по отношению к основанию.) Поблизости от него располагаются аккорды, наиболее часто встречающиеся в западной музыке.

        Глава 3.    

       Исследования музыкальных произведений

Произведение Г. Гладкова «Бременские музыканты»

Попробуем сделать математическую модель этого произведения: каждой ноте мы присвоили номер ступени. Цифра 1 – I ступень, 2 – II ,3 – III, 4 – IV, 5 – V ,6 – VI ,7 – VII, 8 – I, 9 – II ,0 – III. Переложили ноты на числа и получили при этом такой ряд чисел:

11123313 / 535 / 44432246 / 545 / 3353 / 666716 / 22217572 / 176 / 4561 / 7672 / 321117 / 176213 / 444443 / 22221 /.

Черта между цифрами служит тактовой четой, то есть делит их на такты, так как сделано в произведении.

В музыке есть понятие – устойчивые ступени, на которых строится тоническое трезвучие (Т5/3): 1, 3, 5 ступени. Если в каждом полном такте сложить номера устойчивых ступеней, то мы заметим следующую закономерность.

В первом такте сумма равна 13 (1+1+1+3+3+1+3), во II – тоже 13 (5+5+3), в III – 3 (3), в IV – 10 (5+5), в V – 14 (3+3+5+3), в VI – 1, в VII – 6 (5+1), в VIII – 1, в IX – 6 (5+1), в X – 0, в XI – 6 (3+1+1+1), в XII – 4 (1+3), в XIII – 3, в XIV – 1. Получили ряд чисел: 13, 13, 3, 10, 14, 1, 6, 1, 6, 0, 6, 4, 3, 1.

Вывод: Следовательно, наблюдаем, что в произведении повторяется группа цифр: 14, 13, 10, 6, 4, 3 ,1, 0.

Теперь попробуем перемножить в каждом такте номера ступеней.

Получили числа в соответствии с номерами тактов:

  1. 54 (1*1*1*2*3*3*1*3).
  2. 75 (5*3*5)

III. 18432 (4*4*4*3*2*2*4*6)

IV.100 (5*4*5)

  1. 135 (3*3*5*x3)
  2. 9072 (6*6*6*7*1*6)

VII. 3920 (2*2*2*1*7*5*7*2)

VIII. 12 (1*7*6)

  1. 120 (4*5*6*1)
  2. 288 (7*6*7*2)
  3. XI. 336 (3*2*2*2*2*7)

XII. 252 (1*7*6*2*1*3)

XIII. 3072 (4*4*4*4*4*3)

XIV. 16 (2*2*2*2*1)

Имеем следующий ряд чисел: значения в I (11123313) и II (535); III (44432246) и XIII (444443); VI (666716), VIII (176) и XIV (22221); XI (322227), IX (4561) и VII (22217572) тактах получились разные за счет того, что количество нот в них различное.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Из изученной литературы я убедилась, что мир звуков и пространство чисел издавна соседствуют друг с другом.

В ходе проведения исследования, я выявила общие точки соприкосновения (совпадения) точной науки математики и прекрасного, изящного искусства – музыки.

В подтверждении теории Пифагора, что числа правят музыкой, установила связь между цифрами и музыкой, и их влиянием на творческие способности людей.

Таким образом, данное исследование доказывает, что такие разные предметы имеют общие точки соприкосновения и взаимосвязаны друг с другом. Ребята, которые занимаются музыкой, развивают и тренируют свои математические способности. Из чего можно сделать вывод, что музыка помогает изучать математику.

В своей исследовательской работе мы выдвинули гипотезу о том, что любое музыкальное произведение можно представить как математическую модель, которая будет иметь числовые закономерности.

По изложенному в работе способу перевода из нот в числовой ряд следует, что  гипотеза верна, так как способов перевода может быть несколько. В работе мы рассмотрели два способа: это сложение устойчивых ступеней и произведения устойчивых ступеней.

Однако, в ходе выполнения исследования музыкальных произведений, выше перечисленными способами, нами было выявлено, что не каждый числовой ряд имеет такую математическую закономерность. Таким примером является музыкальное произведение «Бременские музыканты».

В заключение исследования,  хочется процитировать слова известного философа, математика 19-20 вв. Бертрана Рассела «Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой – красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства».

Библиография
1.Болл У., Коксетер Г. «Математические эссе и развлечения»-М.: Мир, 1986 г.

  1. Вахромеев В. «Элементарная теория музыки»-М.: Просвещение, 1989 г.
  2. Волошинов А.В. «Математика и искусство»-М.: Просвещение, 1992 г.
  3. Глиэр Р. «О профессии композитора и воспитании молодежи» – М.:«Советская музыка», 1954, №8
  4. Живайкин П. «600 звуковых и музыкальных программ»-С.Петербург.: bhv,, 1999 г.
  5. Келдыш Ю. В. «Музыкальная энциклопедия»-М.: Советская энциклопедия, 1974 г.
  6. Шерман Н. «Формирование равномерно-темперированного строя»-М.: Просвещение, 1964 г.
  7. Хорошо темперированный клавир: Ноты произведений на International Music Score Library Project