Цель исследования:
Какова роль бесконечности в математике
Задачи исследования:
Изучить термин бесконечности; понятие бесконечности в повседневной жизни; применение бесконечности в математике.
Гипотеза исследования: Аристотель сказал:
«… всегда возможно придумать большее число, потому, что количество частей, на которые можно разделить отрезок, не имеет предела. Поэтому бесконечность потенциальна, никогда не действительна; какое бы число делений не задали, всегда потенциально можно поделить на большее число» (Физика III, 6)
Этапы исследования:
- Определение и свойства бесконечности;
Бесконечность — категория человеческого мышления, используемая для характеристики безграничных, беспредельных, неисчерпаемых предметов и явлений, для которых невозможно указание границ или количественной меры. Используется в противоположность конечному, исчисляемому, имеющему предел. Систематически исследуется в математике, логике и философии, также изучаются вопросы о восприятии, статусе и природе бесконечности в психологии, теологии, физике соответственно.
- Представление о бесконечности;
Бесконечность является абстрактным понятием, используемым, чтобы описать или обозначить нечто бесконечное или безграничное. Это понятие важно для математики, астрофизики, физики, философии, логики и искусства. Вот несколько удивительных фактов об этом комплексном понятии, которые способны взорвать мозг любого человека, не очень близко знакомого с математикой.
Число пи – пример бесконечности.
Отличным примером бесконечности является число пи. Математики используют для числа пи символ, потому что невозможно записать все число целиком. Пи состоит из бесконечного количества чисел. Оно часто округляется до 3,14 или даже 3,14159, но неважно, сколько цифр записано после запятой, ведь невозможно добраться до конца числа.
Теорема о бесконечных обезьянах.
Еще один способ думать о бесконечности – рассмотреть теорему о бесконечных обезьянах. Согласно теореме, если дать обезьяне печатную машинку и бесконечное количество времени, в конечном счете у обезьяны получится напечатать «Гамлета» или любое другое произведение. В то время как многие люди воспринимают теорему как демонстрацию веры в то, что нет ничего невозможного, математики рассматривают ее как доказательство невозможности определенного события.
Деление на ноль.
Деления на ноль не существует. Оно невозможно, по крайней мере, в обычной математике. В привычной нам математике единицу, поделенную на ноль, невозможно определить. Это ошибка. Однако так бывает не всегда. В расширенной теории комплексных чисел деление единицы на ноль не вызывает неминуемого коллапса и определяется некоторой формой бесконечности. Другими словами, математика бывает разной, и не вся она ограничивается правилами из учебников.
- Кто и зачем начал исследовать бесконечность;
Давид Гильберт ( 23 января 1862 — 14 февраля 1943 ) — немецкий математик-универсал, внёс значительный вклад в развитие многих областей математики. В 1910—1920-е годы (после смерти Анри Пуанкаре) был признанным мировым лидером математиков. Гильберт разработал широкий спектр фундаментальных идей во многих областях математики, в том числе теорию инвариантов и аксиоматику евклидовой геометрии. Он сформулировал теорию гильбертовых пространств, одну из основ современного функционального анализа
Давид Гильберт внёс весомый вклад создав «отель Гильберта» , на котором построена Арифметика бесконечности ( подробнее лист 12) .
Отель Гильберта — это отель с бесконечным количеством номеров ( в каждом номере живёт 1 постоялец ) .
Разберём задачу , нам нужно заселить в этот отель 1 жителя , но все номера заняты .
Решение : Нужно переселить каждого жителя в номер N + 1 ( где N старый номер )
Тоже самое можно сделать и со 100 новыми жителями или с бесконечным множеством жителей ( переселить N ↔ 2N ) и т.д.
Гео́рг Ка́нтор — немецкий математик. Он наиболее известен как создатель теории множеств, ставшей краеугольным камнем в математике.
Принцип
Сравнение между собой двух множеств по числу элементов с помощью установления взаимно однозначного соответствия между элементами этих множеств.
Свойство
Если можно установить однозначное соответствие между элементами множества ‘A’ и элементами множества ‘B’ то они имеют одинаковую мощность ( количество элементов ).
Зенон Элейский (490-420 до н.э.) Греческий философ. О его жизни известно немногое, и о его трудах, включая его знаменитые парадоксы, мы знаем в основном из сочинений более поздних философов. Он был представителем Элейской школы, учеником Парменида (515–450 до н. э.), который утверждал, что истинная реальность должна быть вечной и неизменной, постижимой лишь разумом и логикой. Согласно легенде, элейский тиран Неарх пытал и казнил Зенона за участие в заговоре против правительства.
Для того чтобы Человек дошёл из точки А до точки B ему надо пройти середину этого пути ( С ) . В свою очередь ,чтобы пройти из А в С нужно пройти середину этого отрезка ( D ) . А чтобы пройти из А в D нужно пройти середину этого отрезка ( E ) и т.д. По данному парадоксу перемещение как такового не существует .Он доказывает ,что пространство(путь) бесконечно делимо
- Обозначение бесконечности;
Символ бесконечности (∞) — математический символ, представляющий концепцию бесконечности.
Введение символа бесконечности в математическом смысле в его современном виде принадлежит английскому математику Валлису, который впервые использовал этот символ в своём трактате 1655 года «О конических сечениях». В своей книге Валлис никак не объяснил выбор этого символа для обозначения бесконечности, по некоторым предположениям, это мог быть вариант записи числа 1000 римскими цифрами (первоначально выглядевшей как CIƆ, либо CƆ), или буквы омега (ω) — последней буквы греческого алфавита.
Леонард Эйлер использовал особый, открытый вариант символа бесконечности для того, чтобы обозначить «абсолютную бесконечность». Этот символ бесконечности впоследствии никем не использовался и не представлен в Юникоде.
В современной мистике символ бесконечности нередко отождествляется с образом Уробороса — змеи, поедающей собственный хвост.
Владимир Набоков в таких своих произведениях, как «Дар» и «Бледный огонь», использует символический образ восьмёрки (в частности, в виде ленты Мёбиуса и символа бесконечности) в описаниях форм велосипедных шин и очертаний полузабытых людей. В поэме «Бледный огонь» упоминается, например «чудо лемнискаты».
Полученные результаты: В заключение своей исследовательской работы хотелось бы сказать, что роль бесконечности в математике очень велика. Она способна удивить, ведь, работая только с конечными промежутками, мы никогда бы не задумались о том, что в множестве натуральных чисел и в множестве натуральных чётных неотрицательных чисел одинаковое количество элементов, ведь множество натуральных чётных неотрицательных чисел — это часть множества натуральных чисел, и, по идее, оно должно иметь меньше элементов.
Конечно же, понятие бесконечности как в математике, так и в других науках — неоднозначно, и человечеству только предстоит узнать всё о ней. До сих пор не известно бесконечна ли галактика, вселенная и т.д.
